Cours d'analyse (Volume 2)

L'objectif principal du second volume de ce Cours d'Analyse en trois volumes
est de donner une introduction à la théorie classique des fonctions
holomorphes d'une variable complexe. Après une introduction aux nombres
complexes et à la théorie des séries entières, on présente les fonctions
holomorphes en utilisant les équations de Cauchy-Riemann et leurs
développements en séries entières. Les théorèmes principaux de la théorie de
Cauchy ainsi que leur utilisation pour l'étude des séries de Taylor et de
Laurent sont présentés en détail. Les fonctions élémentaires (exp., cos, sin
etc.) sont introduites dès le début et leurs propriétés sont développées en
utilisant la théorie générale. Les propriétés principales des fonctions
holomorphes (principe de module maximum, application ouverte, unicité des
fonctions holomorphes, théorèmes de Weierstrass et Mittag-Leffler etc.) sont
présentées et leur relation avec les fonctions harmoniques est développée.
Quelques fonctions spéciales (comme gamma, zéta) sont introduites avec soin.
Les applications conformes (y inclus le théorème de Riemann) sont traitées en
détail. Une introduction à la théorie des fractions continues complexes est
donnée comme illustration de différents modes de présentation des fonctions
holomorphes (comme séries, intégrales ou produits infinis). Le livre termine
avec une courte introduction rigoureuse aux surfaces de Riemann. De nombreux
exercices (avec indications de leur résolution), notices historiques et
bibliographiques complètent le texte.